先前说了树的基本操作，我们采用的是二叉链表来保存树形结构，当然二叉有二叉的困扰之处，比如我想找到当前结点
的“前驱”和“后继”，那么我们就必须要遍历一下树，然后才能定位到该“节点”的“前驱”和“后继”，每次定位都是O（n），这
不是我们想看到的，那么有什么办法来解决呢？
（1） 在节点域中增加二个指针域，分别保存“前驱”和“后继”，那么就是四叉链表了，哈哈，还是有点浪费空间啊。
（2） 看下面的这个二叉树，我们知道每个结点有2个指针域，4个节点就有8个指针域，其实真正保存节点的指针
仅有3个，还有5个是空闲的，那么为什么我们不用那些空闲的指针域呢，达到资源的合理充分的利用。
一： 线索二叉树
1 概念
刚才所说的在空闲的指针域里面存放“前驱”和“后继”就是所谓的线索。
<1> 左线索： 在空闲的左指针域中存放该“结点”的“前驱”被认为是左线索。
<2> 右线索： 在空闲的右指针域中存放该“结点“的”后继“被认为是右线索。
当“二叉链表”被套上这种线索，就被认为是线索链表，当“二叉树”被套上这种线索就被认为是线索二叉树，当然线索根据
二叉树的遍历形式不同被分为“先序线索”，“中序线索”，“后序线索”。
2 结构图
说了这么多，我们还是上图说话，就拿下面的二叉树，我们构建一个中序线索二叉树，需要多动动脑子哟。
<1> 首先要找到“中序遍历”中的首结点D，因为“D结点”是首节点，所以不存在“前驱”，左指针自然是空，
”D节点”的右指针存放的是“后继”，那么根据“中序遍历”的规则应该是B，所以D的右指针存放着B节点。
<2> 接着就是“B节点”，他的左指针不为空，所以就不管了，但是他的“右指针”空闲，根据规则“B结点“的右
指针存放的是"A结点“。
<3> 然后就是“A节点”，他已经被塞的满满的，所以就没有“线索”可言了。
<4> 最后就是“C节点”，根据规则，他的“左指针”存放着就是“A节点“，”C节点“是最后一个节点，右指针自然就是空的，你懂的。
3 基本操作
常用的操作一般有“创建线索二叉树”，”查找后继节点“，”查找前驱节点“，”遍历线索二叉树“，下面的操作我们就以”中序遍历“
来创建中序线索二叉树。
<1> 线索二叉树结构
从“结构图”中可以看到，现在结点的指针域中要么是”子节点（SubTree）“或者是”线索（Thread）“，此时就要设立标志位来表示指针域
存放的是哪一种。
1 #region 节点标识(用于判断孩子是节点还是线索) 2 ///3 /// 节点标识(用于判断孩子是节点还是线索) 4 /// 5 public enum NodeFlag 6 { 7 SubTree = 1, 8 Thread = 2 9 } 10 #endregion 11 12 #region 线索二叉树的结构 13 ///14 /// 线索二叉树的结构 15 /// 16 ///17 public class ThreadTree 18 { 19 public T data; 20 public ThreadTree left; 21 public ThreadTree right; 22 public NodeFlag leftFlag; 23 public NodeFlag rightFlag; 24 } 25 #endregion
刚才也说了如何构建中序线索二叉树，在代码实现中，我们需要定义一个节点来保存当前节点的前驱，我练习的时候迫不得已，只能使用两个
ref来实现地址操作，达到一个Tree能够让两个变量来操作。
1 #region 中序遍历构建线索二叉树 2 ///3 /// 中序遍历构建线索二叉树 4 /// 5 ///6 /// 7 public void BinTreeThreadingCreate_LDR (ref ThreadTree tree, ref ThreadTree prevNode) 8 { 9 if (tree == null) 10 return; 11 12 //先左子树遍历，寻找起始点 13 BinTreeThreadingCreate_LDR(ref tree.left, ref prevNode); 14 15 //如果left为空，则说明该节点可以放“线索” 16 tree.leftFlag = (tree.left == null) ? NodeFlag.Thread : NodeFlag.SubTree; 17 18 //如果right为空，则说明该节点可以放“线索” 19 tree.rightFlag = (tree.right == null) ? NodeFlag.Thread : NodeFlag.SubTree; 20 21 if (prevNode != null) 22 { 23 if (tree.leftFlag == NodeFlag.Thread) 24 tree.left = prevNode; 25 if (prevNode.rightFlag == NodeFlag.Thread) 26 prevNode.right = tree; 27 } 28 29 //保存前驱节点 30 prevNode = tree; 31 32 BinTreeThreadingCreate_LDR(ref tree.right, ref prevNode); 33 } 34 #endregion
<3> 查找后继结点
现在大家都知道，后继结点都是保存在“结点“的右指针域中，那么就存在”两种情况“。
《1》 拿“B节点“来说，他没有右孩子，则肯定存放着线索（Thread),所以我们直接O（1）的返回他的线索即可。
《2》 拿“A节点”来说，他有右孩子，即右指针域存放的是SubTree，悲哀啊，如何才能得到“A节点“的后继呢？其实也很简单，
根据”中序“的定义，”A节点“的后继必定是”A节点“的右子树往左链找的第一个没有左孩子的节点（只可意会，不可言传，嘻嘻）。
1 #region 查找指定节点的后继 2 ///3 /// 查找指定节点的后继 4 /// 5 ///6 /// 7 public ThreadTree BinTreeThreadNext_LDR (ThreadTree tree) 8 { 9 if (tree == null) 10 return null; 11 12 //如果查找节点的标志域中是Thread，则直接获取 13 if (tree.rightFlag == NodeFlag.Thread) 14 return tree.right; 15 else 16 { 17 //根据中序遍历的规则是寻找右子树中中序遍历的第一个节点 18 var rightNode = tree.right; 19 20 //如果该节点是subTree就需要循环遍历 21 while (rightNode.leftFlag == NodeFlag.SubTree) 22 { 23 rightNode = rightNode.left; 24 } 25 return rightNode; 26 } 27 } 28 #endregion
<4> 查找前驱节点
这个跟（3)的操作很类似，同样也具有两个情况。
《1》 拿“C结点”来说，他没有“左子树”，则说明“C节点”的左指针为Thread，此时，我们只要返回左指针域即可得到前驱结点。
《2》 拿"A节点“来说，他有”左子树“，则说明”A节点“的左指针为SubTree，那么怎么找的到”A节点“的前驱呢？同样啊，根据
”中序遍历“的性质，我们可以得知在”A节点“的左子树中往”右链“中找到第一个没有”右孩子“的节点。
1 #region 查找指定节点的前驱 2 ///3 /// 查找指定节点的前驱 4 /// 5 ///6 /// 7 /// 8 public ThreadTree BinTreeThreadPrev_LDR (ThreadTree tree) 9 { 10 if (tree == null) 11 return null; 12 13 //如果标志域中存放的是线索，那么可以直接找出来 14 if (tree.leftFlag == NodeFlag.Thread) 15 return tree.left; 16 else 17 { 18 //根据”中序“的规则可知，如果不为Thread，则要找出左子树的最后节点 19 //也就是左子树中最后输出的元素 20 var leftNode = tree.left; 21 22 while (leftNode.rightFlag == NodeFlag.SubTree) 23 leftNode = leftNode.right; 24 25 return leftNode; 26 } 27 } 28 #endregion
因为我们构建线索的时候采用的是“中序”，那么我们遍历同样采用“中序”，大家是否看到了“线索”的好处，此时我们找某个节点的时间复杂度变为了
O(1) ~0(n)的时间段，比不是线索的时候查找“前驱"和“后继”效率要高很多。
1 #region 遍历线索二叉树 2 ///3 /// 遍历线索二叉树 4 /// 5 ///6 /// 7 public void BinTreeThread_LDR (ThreadTree tree) 8 { 9 if (tree == null) 10 return; 11 12 while (tree.leftFlag == NodeFlag.SubTree) 13 tree = tree.left; 14 15 do 16 { 17 Console.Write(tree.data + "\t"); 18 19 tree = BinTreeThreadNext_LDR(tree); 20 21 } while (tree != null); 22 23 } 24 #endregion
最后上一下总的运行代码
View Code
将文章开头处的数据输入到存储结构中
